7. Elementos da Matemática - Volume 4 - Números Complexos, Polinômios e Geometria Analítica_
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Atualizado após exatos 10 anos, o volume 4 da coleção Elementos da Matemática apresenta os conteúdos de Números Complexos, Polinômios, Equações Algébricas e Geometria Analítica (estudo do ponto e da reta, circunferência e cônicas). Assim como os demais volumes da coleção, o objetivo é proporcionar um material de qualidade compatível aos vestibulares do ITA e IME. Há um motivo pra agrupar esses conteúdos no mesmo livro: a parte de mais difícil entendimento de números complexos, que é a interpretação geométrica, é totalmente baseada no estudo das curvas no plano cartesiano. Assim, não é necessário o leitor estudar os assuntos desse livro tendo que, a todo momento, consultar outro volume da coleção.
Essa nova edição sofreu grande influência da experiência do autor em lecionar nas escolas de Fortaleza, cidade que vem concentrando a maioria dos aprovados nos concursos do ITA e IME. A troca de informações com alunos e professores de Fortaleza foi bastante rica e fundamental na formatação dessa nova edição do volume 4. Alguns tópicos mais avançados, como interpretação geométrica de números complexos e cônicas, tiveram uma atenção especial do autor na atualização.
As novidades dessa edição são:
i) Nova identidade visual, seguindo o padrão dos volumes 0, 1, 2, 3 e 5;
ii) Aumento da fonte, motivo de reclamações das primeiras edições dos volumes da coleção;
iii) Grande atualização dos exercícios, com pelo menos 40% de exercícios novos e manutenção apenas das melhores questões da edição anterior;
iv) Aumento substancial da quantidade de exercícios resolvidos;
v) Novos tópicos teóricos no capítulo de Números Complexos.
Todos os assuntos abordados nesse volume, em especial números complexos e cônicas, quando cobrados em provas de concursos militares, apresentam alto grau de dificuldade, motivo pelo qual este quarto volume provavelmente é o que possui maior grau de aprofundamento de toda a coleção. Caso encontre dificuldades em acompanhar algum tópico, o leitor pode ficar à vontade em buscar textos mais acessíveis, de modo a formar melhor sua base sobre determinado assunto contido neste volume. Apesar desse maior nível de aprofundamento, é importante deixar explícito que Elementos da Matemática é uma coleção voltada para concursos militares e não olimpíadas de matemática. Ao longo de toda a coleção alguns exercícios resolvidos e muitos problemas propostos foram retirados de provas de olimpíadas de matemática, porém foi tomado o cuidado de escolher questões que se encaixem no estilo das provas dos concursos militares.
Determinados tópicos, não comumente encontrados em livros de ensino médio, estão incorporados a esta obra, tais como a interpretação geométrica dos números complexos, fórmula de Euler, aplicação de números complexos em somatórios, resolução de equações de 3º grau, dispositivo da área de Gauss, teorema de Poncelet e seções cônicas. O autor julga essencial que o concurseiro militar domine esses tópicos mais avançados, pois serão esses que farão a diferença no momento de sua aprovação. As questões de números complexos e geometria analítica bem baixo índice de acerto em qualquer concurso militar e um acerto nessas nas questões desses assuntos faz a nota do candidato crescer bastante em relação e seus concorrentes.
ÍndiceCapítulo 1. Números Complexos1. Origem dos Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Unidade Imaginária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Conjunto dos Números Complexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Conjugado de um Número Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Potências de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. O Plano de Argand-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Forma Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Potenciação de um Número Complexo (1ª Lei de Moivre) . . . . . . . . . . 9. Radiciação de um Número Complexo (2ª Lei de Moivre) . . . . . . . . . . . 10. Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Fórmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Somatório e Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1 1 1 10 14 20 31 41 50 59 78 81 89 |
Capítulo 2. Polinômios1. Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Valor Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Raiz de um Polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Soma de Multiplicação de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Grau de um Polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Igualdade entre Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Divisão de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Teorema do Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Teorema de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Algoritmo de Briot-Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Máximo Divisor Comum de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Mínimo Múltiplo Comum de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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120 120 124 128 132 135 142 155 158 163 168 171 172 |
Capítulo 3. Equações Algébricas1. Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Teorema Fundamental da Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Teorema da Decomposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Multiplicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Teorema das Raízes Conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Relações de Girard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Teoremas sobre Raízes Inteiras e Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Resolução de Equações de 3º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Relações de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
189 190 190 195 199 207 221 224 229 231 234
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Capítulo 4. Transformadas Algébricas1. Transformada Multiplicativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Transformada Aditiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Transformada Recíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Equações Recíprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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262 264 267 271 280
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Capítulo 5. Ponto e RetaESTUDO DO PONTO 1. Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Distância entre Dois Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Ponto Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Razão de Secção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Três Pontos Alinhados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESTUDO DA RETA 6. Equação Geral da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Equação Reduzida da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Determinação da Equação de uma Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Equação Segmentária da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Equação Paramétrica da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Posições Relativas de duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Distância entre Ponto e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Distância entre Retas Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Ângulos entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Bissetrizes entre duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. Área de Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Inequações do 1º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. Pontos Clássicos de um Triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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285 286 290 293 295
297 299 303 304 305 308 321 325 327 331 334 340 344 354 |
Capítulo 6. Circunferência1. Equação Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Equação Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Reconhecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Posições Relativas entre Ponto e Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Posições Relativas entre Reta e Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Posições Relativas entre duas Circunferências . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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373 373 374 381 383 400 403 411
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Capítulo 7. CônicasPARÁBOLA 1. Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Elementos Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Equação Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Equação Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Corda Focal Mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Excentricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Teorema das Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Teorema de Poncelet para Parábolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ELIPSE 10. Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Elementos Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Equação Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Excentricidade e Diretriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Teorema das Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. Teorema de Poncelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Equação Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. Latus Rectum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. Equação Paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HIPÉRBOLE 20. Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. Elementos Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Equação Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. Excentricidade, Diretriz e Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. Teorema das Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. Teorema de Poncelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. Equação Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. Latus Rectum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. Equação Paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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434 435 435 440 448 449 451 451 453
457 457 458 464 469 715 473 476 477 480
483 484 484 490 495 500 500 502 503 504 505 |
Capítulo 8. Lugares Geométricos1. Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Determinação de um Lugar Geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Translação de Eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Rotação de Eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Interpretação de uma Equação de 2º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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532 533 546 548 550 562
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Capítulo 9. Apêndice1. Aplicações da Geometria Analítica na Geometria Plana . . . . . . . . . . . 2. Seções Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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576 587
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Gabaritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
594 |
INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES
Páginas: 620
Idioma: Português
Impressão: OffSet de alto padrão
Encadernação: Brochura costurada
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